Принцип двойственности. разложение булевых функций по переменным

Разложение булевых функций по переменным.

Пусть G – параметр, равный 0 или 1. Введем обозначение:

Проверкой легко установить, что x G = 1, тогда и только тогда, когда x = G. Отсюда следует, конъюнкция равна 1 (здесь G равен 0 или 1) тогда и только тогда, когда . К примеру, конъюнкция (в которой G 2 = G 1 = 0, G 3 = G 4 = 1) равна 1 только в случае, когда x 1 = x 2 = 0, x 3 = x 4 = 1.

Теорема 1 Всякая булева функция f(x 1 ,x 2 ,…,x n) должна быть представлена в следующей форме:

где 1 ≤ k ≤ n, в дизъюнкции берется по всем наборам значений переменных.

Это представление носит название разложения функции по переменным . К примеру, при n = 4, k = 2 разложение (3.1) имеет вид:

Докажем справедливость разложения (3.1). Для этого возьмем произвольный набор значений переменных . Покажем, что левая и правая части соотношения (3.1) принимают при нем одно и то же значение. Действительно, так как x G = 1 тогда и только тогда, когда x = G, то среди 2 К конъюнкции правой части (3.1) в единицу обращается только одна, в которой . Все остальные конъюнкции равны нулю.

По этой причине . В качестве следствия из разложения (3.1) получаем следующие два специальных разложения.

Разложение по переменной x n:

В случае если булева функция не есть константа 0, то справедливо разложение

Разложение по всем переменным:

, (3.3)

где дизъюнкция берется по всем наборам , при которых значение функции равно 1.

Разложение (3.3) принято называть совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокращенная запись СДНФ) функции.

Разложение (3.3) дает способ построения СДНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем конъюнкцию и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком дизъюнкции.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции и ее СДНФ. А это значит, что СДНФ для булевой функции единственна.

Единая булева функция, не имеющая СДНФ, есть константа 0.

Пример 1 Найти совершенную дизъюнктивную форму для функции .

Составим таблицу истинности для данной функции:

Отсюда получаем: = = .

Важную роль в алгебре логики играет следующее разложение булевых функций.

Теорема 2 Всякая булева функция должна быть представлена в следующей форме:

где 1≤k≤n, а конъюнкция берется по всем 2 k наборам значений переменных.

Действительно, пусть – произвольный набор значений переменных. Покажем, что левая и правая части соотношения (3.4) принимают при нем одно и то же значение. Так как только тогда, когда , то среди 2 k дизъюнкций правой части (3.4) в 0 обращается только одна, в которой . Все остальные дизъюнкции равны 1.

По этой причине = = .

Непосредственно из разложения (3.4) следуют разложения булевых функций:

Последнее разложение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ). Разложение (3.6) дает способ построения СКНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем дизъюнкцию и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком конъюнкции. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции и ее СКНФ. А это значит, что СКНФ для булевой функции единственна.

Единственная булева функция, не имеющая СКНФ, есть константа 1.

Пример 2 Найти совершенную конъюнктивную нормальную форму для функции .

Составим таблицу истинности для данной функции.

Отсюда получаем СКНФ

Формула вида (краткая запись ), где – конъюнкции принято называть дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

В силу приведенного определения ДНФ будут, к примеру, выражения: , .

Как отмечено в пункте 2.2, все логические операции можно свести к трем: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Причем, ввиду закона де Моргана, знак отрицания можно предполагать отнесенным только к переменным.

Теперь, используя дистрибутивный закон, раскрываем скобки и получаем дизъюнктивную нормальную форму. Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 3 Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная нормальная форма.

Доказательство данной теоремы дает способ построения дизъюнктивной нормальной формы для любой формулы алгебры логики.

Пример 3 Найти дизъюнктивную нормальную форму для следующей формулы: .

Исключая знак по закону и применяя законы де Моргана и двойного отрицания, получаем:

Затем, применяя закон дистрибутивности, раскроем скобки

Последнее выражение есть дизъюнктивная нормальная форма.

Форма вида (краткая запись ), где - дизъюнкции принято называть конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Такими являются, к примеру, выражения:

, .

Как показано выше, для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная форма. Используя дистрибутивный закон , из данной ДНФ легко получить КНФ.

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 4 Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей конъюнктивная нормальная форма.

Доказательство данной теоремы дает способ построения конъюнктивной нормальной формы для любой формулы алгебры логики.

Пример 4 Найти дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы для следующей формулы: .

Используя закон , исключаем знак . Получаем формулу .

Используя закон де Моргана, получаем формулу . Раскрывая скобки, получаем дизъюнктивную нормальную форму

Чтобы получить конъюнктивную нормальную форму, применим к формуле дистрибутивный закон, получаем:

Последнее выражение является конъюнктивной нормальной формой. Так как и , то полученная КНФ равносильна следующей КНФ:

Среди всех нормальных формул данной формулы выделим совершенную нормальную форму как дизъюнктивную, так и конъюнктивную. Учитывая разложение (3), нетрудно заметить, что совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы алгебры логики, содержащей ровно n различных переменных, есть ее дизъюнктивная нормальная форма, в которой:

1) все конъюнкции попарно различны;

2) каждая конъюнкция содержит ровно n переменных;

3) в каждой конъюнкции встречаются все n переменных.

На примере 1 мы рассмотрели один из способов построения СДНФ, основанный на составлении таблицы истинности. Следующий способ построения СДНФ основан на применении законов алгебры логики.

Пример 5 Найти совершенную дизъюнктивную форму формулы .

Используя, что , получаем . Ввиду законов де Моргана и двойного отрицания имеем получили дизъюнктивную нормальную форму . Данная ДНФ равносильна формуле .

Раскрывая скобки, получаем: .

Используя закон идемпотентности, получаем требуемую СДНФ:

Учитывая разложение (3.6), нетрудно заметить, что совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы алгебры логики, содержащей ровно n различных переменных, есть ее конъюнктивная нормальная форма, в которой:

1) все дизъюнкции попарно различны;

2) каждая дизъюнкция содержит ровно n членов;тождественно истинной , в случае если она при всех значениях входящих в нее переменных принимает значение истинно .

Примерами тождественно истинных формул являются формулы:

тождественно ложной , в случае если она при всех значениях, входящих в нее переменных, принимает значение ложь.

Примерами тождественно ложных формул являются формулы:

Формула алгебры логики принято называть выполнимой , в случае если она при некоторых значениях, входящих в нее переменных, принимает значение истинно.

Примерами выполнимых формул являются следующие формулы:

В алгебре логики можно поставить следующую задачу: указать способ (алгоритм), позволяющий для каждой формулы алгебры логики узнать, является она тождественно истинной или нет. Поставленная задача носит название проблемы разрешения.

Рассмотрим следующие два способа решения этой задачи.

Способ 1 (табличный) Для того, чтобы определить, является ли данная формула тождественно истинной или нет, достаточно составить ее таблицу истинности.

При этом данный способ, хотя и дает принципиальное решение проблемы разрешимости, он довольно громоздкий.

Способ 2 основан на приведении формул к нормальной форме.

Теорема 4 Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно истинной, когда каждая дизъюнкция в ее конъюнктивной нормальной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием.

Действительно, в случае если каждая дизъюнкция в конъюнктивной нормальной форме содержит переменную вместе с ее отрицанием, то все дизъюнкции равны 1, ибо , . Отсюда следует, что КНФ является тождественно истинной.

Пусть теперь данная формула является тождественно истинной, и пусть есть некоторая дизъюнкция в КНФ данной формулы. Допустим, что данная дизъюнкция не содержит переменной вместе с ее отрицанием. В таком случае мы можем каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, дать значение 0, а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания – значение 1. После указанной подстановки все дизъюнкции станут равны 0, следовательно, формула не является тождественно истинной. Получили противоречие.

Пример 7 Выяснить, будет ли тождественно истинной формула

Используя, что , получаем .

Применяя закон дистрибутивности, получаем КНФ:

Так как каждая дизъюнкция содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием, то формула тождественно истинна.

Аналогично предыдущей теореме доказывается теорема:

Теорема 5 Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно ложной, когда каждая конъюнкция в ее дизъюнктивной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием .

Разложение булевых функций по переменным. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Разложение булевых функций по переменным." 2017, 2018.

Пусть G - параметр, равный 0 или 1.

Введем обозначение:

Проверкой легко установить, что x G = 1, тогда и только тогда, когда
x = G. Отсюда следует, конъюнкция равна 1 (здесь G равен 0 или 1) тогда и только тогда, когда . Например, конъюнкция (в которой G 2 = G 1 = 0, G 3 = G 4 = 1) равна 1 только в случае, когда x 1 = x 2 = 0, x 3 = x 4 = 1.

Теорема 1. Всякая булева функция f(x 1 , x 2 , x n) может быть представлена в следующей форме:

где 1 ≤ k ≤ n, в дизъюнкции берется по всем наборам значений переменных.

Это представление носит название разложения функции по переменным . Например, при n = 4, k = 2 разложение (3.1) имеет вид:

Поэтому . В качестве следствия из разложения (3.1) получаем следующие два специальных разложения.

Разложение по переменной x n:

Если булева функция не есть константа 0, то справедливо разложение

Разложение по всем переменным:

, (3.3)

где дизъюнкция берется по всем наборам , при которых значение функции равно 1.

Разложение (3.3) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокращенная запись СДНФ) функции.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции и ее СДНФ. А это значит, что СДНФ для булевой функции единственна.

Единая булева функция, не имеющая СДНФ, есть константа 0.

Пример 1. Найти совершенную дизъюнктивную форму для функции .

Составим таблицу истинности для данной функции:

Отсюда получаем: = = .

Важную роль в алгебре логики играет следующее разложение булевых функций.

Теорема 2. Всякая булева функция может быть представлена в следующей форме:

где 1≤k≤n, а конъюнкция берется по всем 2 k наборам значений переменных.

Действительно, пусть - произвольный набор значений переменных. Покажем, что левая и правая части соотношения (3.4) принимают при нем одно и то же значение. Так как только тогда, когда , то среди 2 k дизъюнкций правой части (3.4) в 0 обращается только одна, в которой . Все остальные дизъюнкции равны 1.

Поэтому = = .

Непосредственно из разложения (3.4) следуют разложения булевых функций:

Последнее разложение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ). Разложение (3.6) дает способ построения СКНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем дизъюнкцию и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком конъюнкции. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции и ее СКНФ. А это значит, что СКНФ для булевой функции единственна.

Единственная булева функция, не имеющая СКНФ, есть константа 1.

Пример 2. Найти совершенную конъюнктивную нормальную форму для функции .

Составим таблицу истинности для данной функции.

Отсюда получаем СКНФ

Формула вида (краткая запись ), где - конъюнкции называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

В силу приведенного определения ДНФ будут, например, выражения: , .

Как отмечено в пункте 2.2, все логические операции можно свести к трем: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Причем, ввиду закона
де Моргана, знак отрицания можно предполагать отнесенным только к переменным.

Теорема 3. Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная нормальная форма.

Пример 3. Найти дизъюнктивную нормальную форму для следующей формулы: .

Исключая знак по закону и применяя законы де Моргана и двойного отрицания, получаем:

Затем, применяя закон дистрибутивности, раскроем скобки

Последнее выражение есть дизъюнктивная нормальная форма.

Форма вида (краткая запись ), где - дизъюнкции называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Такими являются, например, выражения:

, .

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей конъюнктивная нормальная форма.

Пример 4. Найти дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы для следующей формулы: .

Используя закон , исключаем знак . Получаем формулу .

Используя закон де Моргана, получаем формулу . Раскрывая скобки, получаем дизъюнктивную нормальную форму

Чтобы получить конъюнктивную нормальную форму, применим к формуле дистрибутивный закон, получаем:

1) все конъюнкции попарно различны;

2) каждая конъюнкция содержит ровно n переменных;

3) в каждой конъюнкции встречаются все n переменных.

Пример 5. Найти совершенную дизъюнктивную форму формулы .

Используя, что , получаем . Ввиду законов
де Моргана и двойного отрицания имеем получили дизъюнктивную нормальную форму . Данная ДНФ равносильна формуле .

Раскрывая скобки, получаем: .

Используя закон идемпотентности, получаем требуемую СДНФ:

1) все дизъюнкции попарно различны;

2) каждая дизъюнкция содержит ровно n членов;

3) в каждой дизъюнкции встречаются все n переменных., если она при всех значениях входящих в нее переменных принимает значение истинно .

Примерами тождественно истинных формул являются формулы:

тождественно ложной , если она при всех значениях, входящих в нее переменных, принимает значение ложь.

Примерами тождественно ложных формул являются формулы:

Формула алгебры логики называется выполнимой , если она при некоторых значениях, входящих в нее переменных, принимает значение истинно.

Примерами выполнимых формул являются следующие формулы:

В алгебре логики можно поставить следующую задачу: указать способ (алгоритм), позволяющий для каждой формулы алгебры логики выяснить, является она тождественно истинной или нет. Поставленная задача носит название проблемы разрешения.

Рассмотрим следующие два способа решения этой задачи.

Способ 1. (табличный) Для того, чтобы определить, является ли данная формула тождественно истинной или нет, достаточно составить ее таблицу истинности.

Однако данный способ, хотя и дает принципиальное решение проблемы разрешимости, он довольно громоздкий.

Способ 2. основан на приведении формул к нормальной форме.

Теорема 4. Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно истинной, когда каждая дизъюнкция в ее конъюнктивной нормальной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием.

Действительно, если каждая дизъюнкция в конъюнктивной нормальной форме содержит переменную вместе с ее отрицанием, то все дизъюнкции равны 1, ибо , . Отсюда следует, что КНФ является тождественно истинной.

Пусть теперь данная формула является тождественно истинной, и пусть есть некоторая дизъюнкция в КНФ данной формулы. Допустим, что данная дизъюнкция не содержит переменной вместе с ее отрицанием. В таком случае мы можем каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, дать значение 0, а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания - значение 1. После указанной подстановки все дизъюнкции станут равны 0, следовательно, формула не является тождественно истинной. Получили противоречие.

Пример 7. Выяснить, будет ли тождественно истинной формула

Используя, что , получаем .

Применяя закон дистрибутивности, получаем КНФ:

Аналогично предыдущей теореме доказывается теорема:

Теорема 5. Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно ложной, когда каждая конъюнкция в ее дизъюнктивной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием .

Задание булевых функций от переменных с помощью таблицы истинности, определение формулы, виды важнейших равносильностей (законов) алгебры логики. Равносильные формулы, законы равносильности, логические уравнения. Разложение булевых функций по переменным.

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Основные аксиомы и тождества алгебры логики. Аналитическая форма представления булевых функций. Элементарные функции алгебры логики. Функции алгебры логики одного аргумента и формы ее реализации. Свойства, особенности и виды логических операций.

реферат , добавлен 06.12.2010

Понятие алгебры логики, ее сущность и особенности, основные понятия и определения, предмет и методика изучения. Законы алгебры логики и следствия из них, методы построения формул по заданной таблице истинности. Формы представления булевых функций.

учебное пособие , добавлен 29.04.2009

Булевы алгебры – решетки особого типа, применяемые при исследовании логики (как логики человеческого мышления, так и цифровой компьютерной логики), а также переключательных схем. Минимальные формы булевых многочленов. Теоремы абстрактной булевой алгебры.

курсовая работа , добавлен 12.05.2009

Операции над логическими высказываниями: булевы функции и выражение одних таких зависимостей через другие. Пропозициональные формулы и некоторые законы логики высказываний. Перевод выражений естественного языка на символическую речь алгебры логики.

контрольная работа , добавлен 26.04.2011

Логика - наука о законах и формах мышления, а основное понятие алгебры логики - высказывание. Основные понятия и тождества булевой алгебры. Изучение методов минимизации булевых функций. Метод Квайна, основанный на применении двух основных соотношений.

контрольная работа , добавлен 20.01.2011

Основные понятия алгебры логики. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Сущность теоремы Шеннона. Булевы функции двух переменных. Последовательное и параллельное соединение двух выключателей. Свойства элементарных функций алгебры логики.

контрольная работа , добавлен 29.11.2010

Логическая переменная в алгебре логики. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Основные законы алгебры логики. Правила минимизации логической функции (избавление от операций импликации и эквивалентности).

курсовая работа , добавлен 16.01.2012

Множество В, на котором определены две бинарные операции (конъюнкция и дизъюнкция) и одна унарная операция (отрицание) и выделены два элемента 0 и 1 называется булевой алгеброй.

Причем для этих операций необходимо выполнение следующих свойств:

Ассоциативность

Коммутативность

Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

Идемпотентность

Двойное отрицание

Свойства констант

Правила де Моргана

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

В алгебре логики эти законы называются равносильностями.

Совершенные нормальные формы

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Введем обозначения:

; А А =1; Х А =1, если Х=А, Х А =0, если ХА.

Формула Х А 1…… Х А n , где А=- какой-либо двоичный набор, а среди переменных Хi могут быть совпадающие называется элементарной конъюнкцией.

Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Элементарная конъюнкция называется правильной, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая ее вхождение под знаком отрицания).

Например: 1) (значок конъюнкции в данном случае опущен).

1),4) - правильные элементарные конъюнкции;

2)- переменная х входит один раз сама и второй раз под знаком отрицания;

Переменная y входит трижды: один раз сама и два раза под знаком отрицания.

Правильная элементарная конъюнкция называется полной относительно переменных х 1 …..х n , если в нее входит каждая их этих переменных причем только один раз (может быть и пол знаком отрицания).

Например: из перечисленных в предыдущем примере конъюнкций полной является только 4) относительно переменных x,y,z,t; а относительно переменных x,y,z полной является только 1).

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) относительно переменных х 1 …..х n называется дизъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции правильны и полны относительно переменных х 1 …..х n

Разложение по переменным

Теорема 1. Всякая логическая функция может быть представлена в СДНФ:

где m, а дизъюнкция берется по всем 2 m наборам значений переменных х 1 ,…х m . Функция f разложена по первым n-переменным. Данное равенство называется разложением по переменным. х 1 ,…х m . Например при n=4, m=2 разложение имеет вид:

теорема доказывается подстановкой в обе части равенства (1) произвольного набора (b 1 ,…,b m , b m+1 ,…,b n) всех n-переменных.

При m = 1 из (1) получаем разложение функции по одной переменной:

Очевидно, что аналогичное разложение справедливо для любой из n- переменных.

Другой важный случай когда n=m. При этом все переменные в правой части (1) получают фиксированные значения и функции в конъюнкции правой части становятся равными 0 или 1, что дает:

где дизъюнкция берется по всем наборам (b 1 …b n), на которых f=1. При f=0 множество конъюнкций в правой части пусто. Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой. СДНФ функции f содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц получается в таблице истинности f. Каждому единичному набору (b 1 ,…, b n) соответствует конъюнкция всех переменных, в которой x i взято с отрицанием, если b i =0 b ,и без отрицания, если, b i =1. Таким образом существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции f и ее СДНФ, и,следовательно, СДНФ для всякой логической функции единственна. Единственная функция не имеющая СДНФ - это константа 0.

Теорема 2 . Всякая логическая функция может быть представлена в виде булевой формулы.

Действительно, для всякой функции, кроме константы 0, таким представлением может служит ее СДНФ. Константу 0 можно представить булевой формулой.

Выделим переменную x 1 и рассмотрим функцию f относительно нее.

Все множество наборов таблицы истинности разбивается на два подмножества, в каждом из которых по четыре набора <0, a 2 , a 3 > и <1, a 2 , a 3 >.

Тогда функцию f(x 1 ,x 2 ,x 3) можно представить в виде дизъюнкции двух функций от двух переменных и эта формула будет иметь вид:

Рассмотрим следующие формулы:

Левая часть первой формулы эквивалентна правой, поскольку для x 1 =0 и в соответствии с операцией конъюнкции. Аналогично можно показать справедливость второй формулы. Таким образом, поставив эти формулы в предыдущую дизъюнкцию, получим:

Это выражение называется разложением функции f(x 1 ,x 2 ,x 3) по переменной x 1 .

Теперь аналогично можно разложить функции f(0,x 2 ,x 3) и f(1,x 2 ,x 3) по переменной x 2 . Получим

Подставляя эти формулы в предыдущие получим

Внесем в соответствии с дистрибутивностью операции & переменную x 1 и ее инверсию в скобки, получим

В общем виде для функции f(x 1 ,x 2 ,..,x n) от n переменных разложение по m переменным (m£n) имеет вид

где дизъюнкция берется по всем 2 m наборам переменных x 1 ,x 2 ,..,x m .

Рассмотрим разложение (*4) при крайнем случае, когда m=n. (см. пример (*3)).

Тогда во всех конъюнкциях значения функции f на каждом фиксированном наборе имеет значения равные нулю или единице. Удалив все нулевые конъюнкции, получим новое разложение и в этом новом разложении удалим в конъюнкциях сомножители функций, т.к. они равны 1. Оставшееся выражение называется СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Проделаем все это для примера (*3).

После удаления из (*3) конъюнкций с нулевыми значениями функции f на заданных наборах, получим:

Так как в соответствии с таблицей истинности

f(0,0,0) = f(0,1,0) = f(1,1,0) = f(1,1,1)=1

то из конъюнкций уберем сомножители функций, после чего получим:

Это и есть совершенная дизъюнктивная нормальная форма булевой функции f.

Лемма. Любая булева функция (кроме константы "0") имеет СДНФ, при том только одну.

Аналогично можно ввести конъюнктивную форму,

Построение СДНФ для функции, заданной таблицей

Данное следствие носит конструктивный характер, т.к. оно по таблице функции позволяет построить формулу, являющуюся СДНФ (если ).
СДНФ функции f содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц в таблице f ; каждому “единичному” набору (d 1 ,…,d n), т.е. набору, на котором значение функции равно 1, соответствует конъюнкция всех переменных, в которой x i взято с отрицанием, если d i=0 , и без отрицания, если d i =1 .